Portafoglio a varianza minima: cos'è e come si calcola

Il portafoglio a varianza minima (o a minima varianza) è la combinazione di attività finanziarie che, tra tutte quelle possibili, ha la volatilità più bassa. Si ottiene scegliendo i pesi dei titoli in modo da sfruttare al massimo la diversificazione, senza guardare ai rendimenti attesi.

È il punto più a sinistra della frontiera efficiente della teoria di Markowitz: sotto quel livello di rischio, non è possibile scendere con le attività considerate.

Perché esiste un minimo di rischio

La varianza di un portafoglio non è la media delle varianze dei suoi titoli: dipende anche da come i titoli si muovono tra loro, cioè dalla loro correlazione. Se le attività non sono perfettamente correlate, mescolandole si può ottenere un rischio inferiore a quello del titolo meno rischioso preso da solo. Esiste quindi una combinazione di pesi che rende la varianza la più piccola possibile.

Per due attività 1 e 2 la varianza del portafoglio è:

σp² = w1² σ1² + w2² σ2² + 2 w1 w2 ρ σ1 σ2

con w1 + w2 = 1. Derivando rispetto a w1 e ponendo la derivata a zero si ottiene il peso del primo titolo nel portafoglio a varianza minima:

w1 = (σ2² − ρ σ1 σ2) / (σ1² + σ2² − 2 ρ σ1 σ2)

e w2 = 1 − w1. Se il risultato esce fuori dall'intervallo 0-100% serve vendere allo scoperto uno dei due titoli; senza questa possibilità il minimo si trova ponendo il peso a zero o al 100%.

Esempio svolto (ipotetico)

Due attività: la prima ha volatilità 20%, la seconda 10%, con correlazione 0,2.

1. Numeratore: σ2² − ρσ1σ2 = 0,01 − 0,2 × 0,20 × 0,10 = 0,01 − 0,004 = 0,006.
2. Denominatore: σ1² + σ2² − 2ρσ1σ2 = 0,04 + 0,01 − 2 × 0,2 × 0,02 = 0,05 − 0,008 = 0,042.
3. Peso della prima attività: w1 = 0,006 / 0,042 ≈ 0,1429, cioè 14,29%. Peso della seconda: 85,71%.
4. Varianza del portafoglio: 0,1429² × 0,04 + 0,8571² × 0,01 + 2 × 0,1429 × 0,8571 × 0,2 × 0,02 ≈ 0,000816 + 0,007347 + 0,000980 = 0,009143.
5. Volatilità: √0,009143 ≈ 9,56%.

Il risultato è interessante: il portafoglio ha una volatilità (9,56%) inferiore a quella della sola attività meno rischiosa (10%). Includere una piccola quota del titolo più volatile ha ridotto il rischio complessivo, grazie alla bassa correlazione.

Più di due attività

Con molte attività il calcolo si fa con le matrici: i pesi di minima varianza dipendono dalla matrice di covarianza dei rendimenti. Si risolve con fogli di calcolo o software di ottimizzazione. In pratica, il procedimento prevede di:

1. Stimare volatilità e correlazioni dai dati storici.
2. Costruire la matrice di covarianza.
3. Risolvere il problema di ottimizzazione con il vincolo che i pesi sommino a 100% (e, di solito, che siano non negativi).

Vantaggi e limiti

I punti di forza dell'approccio a minima varianza:

• Non richiede stime dei rendimenti attesi, che sono la parte più incerta dei modelli.
• Offre un riferimento chiaro: il livello minimo di rischio ottenibile con quelle attività.

I limiti da conoscere:

• Sensibile ai dati. Piccoli cambiamenti nelle stime di volatilità e correlazione possono spostare molto i pesi.
• Può concentrarsi. Il portafoglio ottimale può puntare molto su poche attività a bassa volatilità.
• Ignora il rendimento. Il portafoglio a rischio minimo non è detto che sia quello migliore per i tuoi obiettivi.
• Le correlazioni cambiano nel tempo e tendono a salire nelle crisi.

Per questo il portafoglio a minima varianza è uno strumento di analisi più che una ricetta pronta. Per un approccio pratico, vedi come costruire un portafoglio di investimenti o l'esempio del portafoglio pigro con 3 ETF.

Un cenno al cono di Ibbotson

Chi studia il rischio incontra anche il cono di Ibbotson, una rappresentazione grafica che mostra come l'intervallo dei possibili rendimenti di un portafoglio si allarghi man mano che cresce l'orizzonte temporale: l'incertezza sul valore finale aumenta con gli anni, anche se il rendimento medio annuo atteso tende a stabilizzarsi. È un modo per visualizzare che il rischio non sparisce con il tempo. Le metodologie di costruzione variano e sono legate ai modelli di proiezione del singolo autore, quindi vanno sempre lette con le ipotesi dichiarate. Per misure collegate di rischio, leggi anche il Value at Risk e il drawdown.

Come si arriva a un portafoglio efficiente

Il portafoglio a minima varianza è solo il punto di partenza della frontiera efficiente. Muovendosi lungo la frontiera verso destra si accetta più rischio in cambio di un rendimento atteso più elevato. Il passo successivo, in teoria, è scegliere il punto che corrisponde alla propria tolleranza al rischio oppure, introducendo un'attività priva di rischio, quello che massimizza il rendimento in eccesso per unità di rischio.

Nella pratica molti investitori non risolvono problemi di ottimizzazione: scelgono pochi strumenti ampiamente diversificati, a basso costo e con una bassa correlazione reciproca, e ribilanciano periodicamente. È una versione semplificata dello stesso principio, meno sensibile agli errori di stima dei dati.

Domande frequenti

Cosa significa portafoglio a minima varianza?

È il portafoglio con la deviazione standard più bassa possibile tra tutte le combinazioni delle attività considerate. Sfrutta al massimo la diversificazione senza considerare il rendimento atteso.

Il portafoglio a minima varianza è il migliore?

Non necessariamente. Minimizza il rischio ma può offrire un rendimento atteso modesto. La scelta dipende dal rapporto tra rischio e rendimento che vuoi ottenere, non solo dal rischio più basso.

Come si calcola la varianza di un portafoglio?

Si sommano i contributi delle varianze dei singoli titoli, pesate per il quadrato dei pesi, e quelli delle covarianze tra coppie, pesate per i prodotti dei pesi. Con due titoli la formula è quella riportata sopra.

Varianza e deviazione standard sono la stessa cosa?

No. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. Si usa più spesso perché ha la stessa unità di misura dei rendimenti ed è più facile da interpretare.

Contenuto a scopo informativo: non costituisce consulenza finanziaria.